置換と巡回置換の理解を深めるため、GAPとMathematica の関数の対応関係を調べた。数学の記述とGAPの関数について書かれてる次が参考になった。
関連する部分をキャプチャしここに載せさせていただきます。
GAP関数とMathematicaの対応
GAP の実行結果とMathematicaの実行結果を示す。これにより巡回置換に関連する関数の対応関係が分かる。
gap> (1,2,3)^-1;
(1,3,2)
InversePermutation[Cycles[{{1,2,3}}]]
⇒ Cycles[{{1,3,2}}] gap> 2^(1,2,3);
3
PermutationReplace[2,Cycles[{{1,2,3}}]]
⇒ 3
gap> (1,2)*(2,3);
(1,3,2)
PermutationProduct[Cycles[{{1,2}}], Cycles[{{2,3}}]]
⇒ Cycles[{{1,3,2}}]
gap> (1,2,3)^(1,2);
(2,1,3) # 疑問：gap で実行すると (1,3,2) になる
# 文章を読むと。数の列 (1 2,3) と書いてある。 したがって次である。
gap> List( [1,2,3], i->i^(1,2) )
[2,1,3]
PermutationReplace[{1,2,3}, Cycles[{{1, 2}}]]
⇒ {2,1,3}
gap> (1,2,3)^(1,2);
(1,3,2) # gap の実行結果
PermutationReplace[Cycles[{{1,2,3}}], Cycles[{{1,2}}]]
⇒ Cycles[{{1,3,2}}](1,2,3)^(1,2);について,GAP manual:20 Permutations で調べたところ次のように書いてあった。
p1^p2 The operator ^ evaluates to the conjugate p2-1*p1*p2 of the permutation p1 by the permutation p2.
p1 = Cycles[{{1,2,3}}];
p2 = Cycles[{{1,2}}];
PermutationProduct[InversePermutation[p2], p1, p2]
⇒ Cycles[{{1,3,2}}]
PermutationReplace[p1, p2]
⇒ Cycles[{{1,3,2}}]
このプログラムを Pythonica を使って Mathematica notebook で実行した。Mathematica 9 の探索(10)> に載っています。
まとめ
- GAP とMathematica(MMA) の関数の対応関係を調べた。
- GAP MMA
- 置換の表現 [1,2,3] {1,2,3}
- 巡回置換の表現 (1,2,3) Cycles[{{1,2,3}}]
- 置換の演算について調べた。
Wolfram Mathematica 9 ドキュメントセンターに説明がある。
