7. Rubik's Cube: 配置リスト(置換リスト)の意味

Cubie と Cubicle

Handbook of Cubik Math( A.H.Frey and D.Singmaster) に cubie と cubicle の定義が書いてある。cubicle の定義には cubie で占められる場所と書いてある。

Cubies The small cube pieces which make up the whole cube.
Cubicles The spaces ocuppied by cubies.
Facelets The faces of a cubie.

言い換えることにする。up と front を決めれば、cubik は固定される。この状態で cubicle の場所に 1 から48 の住所が決まる。この住所が次の展開図の番号である。

一方、cubie の面の番号はコーナーとエッジによって次のようにきまる。 up の小面の番号1をもつコーナーcubie は {1, 9, 35} の小面の番号の組みを持つ。ここで、数の並びは1からはじめて時計回りに並べている。同様にコーナーcubie の小面の番号の組みは {3, 33, 27}, {6, 17, 11}, {8, 25, 18} になる。down のコーナーcubie の場合も同様に番号の組みが決まり、{14, 46, 40}, {16, 22, 41}, {24, 30, 43} ,{32, 38,48}である。

エッジcubie は2個の数の組みできまる。例えば、up の面に関しては {2, 34}, {4, 10}, {5, 26}, {7, 18} である。中段の４個 {12,37}, {13,20}, {21,28}, {29, 36} と down の４個 {15,44}, {23,42}, {31,45}, {39,47} で合計12個のエッジ cubie が決まる。

配置リスト(置換リスト)が意味すること

配置リストを p とする。

p = Range[48]
 ⇒ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 
    19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,
    35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48}

この配置リストは次のように解釈できる。48 個の入るべき住所がついた cubcle の場所があり、そこに数字で表された cubie の小面が入っている。1番の場所に入っている小面は p[[1]] である。ここで使われた 1 は住所を表している。同様に住所10 に入っている小面の数字はp[[10]] である。

p[[1]]
⇒ 1
p[[10]]
⇒ 10

この解釈をルービックキューブに当てはめる。キューブには cubie の小面 (facelets) が入るべき48個の固定された場所 (cubicle) があり、この場所に cubie が入っていると解釈する。この cubicle の住所を示したのが上記の展開図です。

回転すると cubicle に入る小面が変わる。例えば、右面 ( R ) を時計回りに90° 回転すると、cubicle 3 には小面 19 が入り、cubicle 5 には小面 21 が入り, cubicle 8 には小面 24 が入り, 等々になる。これを配置リストを使って表現すると次になる。

pr = {1, 2, 19, 4, 21, 6, 7, 24, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 
     18, 43, 20, 45, 22, 23, 48, 30, 28, 25, 31, 26, 32, 29, 27, 8, 
     34, 35, 5, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 38, 44, 36, 46, 47, 33};

20 カ所で変化が起こっている。変化が起こっている cublcle の番号と小面の番号の組を次に示す。

p0 = Range[48];
DeleteCases[Table[If[pr[[i]] != p0[[i]], {i, pr[[i]]}], {i, 1, 48}], Null]
⇒ {{3, 19}, {5, 21}, {8, 24}, {19, 43}, {21, 45}, {24, 48}, {25, 30}, 
　　{26, 28},{27, 25}, {28, 31}, {29, 26}, {30, 32}, {31, 29}, {32, 27},
    {33, 8}, {36, 5}, {38, 3}, {43, 38}, {45, 36}, {48, 33}}